|
Четность и нечетность функции по графику. Четные и нечетные функции
Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе. Определение 1.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х). Определение 2.
Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х). Доказать, что у = х 4 - четная функция. Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной. Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными. Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция. Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной. Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными. Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная. Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х). Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой. Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность. В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как :
пусть x
1a
;b
,
а x
2a
;b
. |
Скрыть
Показать
Способы задания функцииПусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3
. Назначая любые значения независимой переменной x
, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y
. Например, если x=-0,5
, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y
равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5
. Взяв любое значение, принимаемое аргументом x
в формуле y=2x^{2}-3
, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы: x
| −2
| −1
| 0
| 1
| 2
| 3
|
y
| −4
| −3
| −2
| −1
| 0
| 1
|
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1
будет соответствовать значение функции −3
; а значению x=2
будет соответствовать y=0
и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции. Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x
. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции. Четная и нечетная функцияФункция является четной функцией
, когда f(-x)=f(x)
для любого x
из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy
. Функция является нечетной функцией
, когда f(-x)=-f(x)
для любого x
из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0)
. Функция является ни четной
, ни нечетной
и называется функцией общего вида
, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат. Исследуем на четность нижеприведенную функцию: f(x)=3x^{3}-7x^{7}
D(f)=(-\infty ; +\infty)
с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)=
3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}=
-3x^{3}+7x^{7}=
-(3x^{3}-7x^{7})=
-f(x)
. Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7}
является нечетной. Периодическая функцияФункция y=f(x)
, в области определения которой для любого x
выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x)
, называется периодической функцией
с периодом T \neq 0
. Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T
. Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0
- отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс. f(x) > 0
на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty)
Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0
- отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс. f(x) < 0
на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Ограниченность функцииОграниченной снизу
принято называть функцию y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число A
, для которого выполняется неравенство f(x) \geq A
для любого x \in X
. Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}}
так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1
для любого x
. Ограниченной сверху
называется функция y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число B
, для которого выполняется неравенство f(x) \neq B
для любого x \in X
. Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1]
так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
. Ограниченной
принято называть функцию y=f(x), x \in X
тогда, когда существует такое число K > 0
, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K
для любого x \in X
. Пример ограниченной функции: y=\sin x
ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1
. Возрастающая и убывающая функцияО функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции
тогда, когда большему значению x
будет соответствовать большее значение функции y=f(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1}) > y(x_{2})
. Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией
тогда, когда большему значению x
будет соответствовать меньшее значение функции y(x)
. Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1}
и x_{2}
, причем x_{1} > x_{2}
, будет y(x_{1}) < y(x_{2})
. Корнями функции
принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
). а)
Если при x > 0
четная функция возрастает, то убывает она при x < 0
б)
Когда при x > 0
четная функция убывает, то возрастает она при x < 0
в)
Когда при x > 0
нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0
г)
Когда нечетная функция будет убывать при x > 0
, то она будет убывать и при x < 0
Экстремумы функцииТочкой минимума функции
y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0})
. y_{min}
- обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции
y=f(x)
принято называть такую точку x=x_{0}
, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}
), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0})
. y_{max}
- обозначение функции в точке max.
Необходимое условиеСогласно теореме Ферма: f"(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке. Достаточное условие- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0}
будет точкой минимума;
- x_{0}
- будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}
.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежуткеШаги вычислений: - Ищется производная f"(x)
;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку
;
- Находятся значения функции f(x)
в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции
, а большее — наибольшим
.
|